მანდელბროტი და ჯულია ადგენენ ESP32– ზე: 4 ნაბიჯი (სურათებით)

2024 ავტორი: John Day | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-30 10:17

თქვენ ნამდვილად იცით ფრაქტალები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია მანდელბროტის ნაკრები.

აქ არის პროგრამა, რომლის საშუალებითაც შეგიძლიათ ითამაშოთ ESP32– ზე. მე ავირჩიე ESP32, რადგან მე ვფიქრობ, რომ ის გამოთვლებს უფრო სწრაფად, ვიდრე სტანდარტული Arduino (საათის უფრო მაღალი სიხშირე: 240 MHz): დაახლოებით წამიდან მეორე და ნახევარი გამოთვლისა და ჩვენებისთვის.

კოდი ნაჩვენებია 480 x 320 TFT სენსორულ ეკრანზე. იგი ითვლის მანდელბროტისა და იულია რამდენიმე პარამეტრის მნიშვნელობას და გაძლევთ საშუალებას გაადიდოთ ინტერესის სფეროები, რათა ნახოთ ფრაქტალური ასპექტი (ანუ ერთი და იგივე სტრუქტურების არსებობა თითოეულ მასშტაბის ცვლილებაზე). მასშტაბირების დონე შეზღუდულია გამოთვლების შეზღუდული სიზუსტის გამო, მაგრამ სურათის დეგრადაციამდე შეიძლება გაკეთდეს ნახევარი ათეული მასშტაბირება.

მოემზადეთ ფრაკტალების ჯადოსნური სამყაროს შესასწავლად…

ნაბიჯი 1: რა არის მანდელბროტი და ჯულია სეტსი?

მანდელბროტის ნაკრები დაერქვა ბენუა მანდელბროტის (1924-2010), ფრანგი და ამერიკელი მათემატიკოსის სახელს, რომელმაც პიონერული სამუშაო შეასრულა ფრაქტალურ გეომეტრიაში, მე -19 საუკუნის ბოლოს, მათ შორის, პეანოს, სიერპინსკის და იულიას მიერ.

რა არის ფრაქტალური ობიექტები?

ბუნების დარღვევები, რომლებიც შეიძლება ქაოტურად მოგვეჩვენოს, როგორიცაა ზღვის სანაპირო ხაზი, ღრუბლების ფორმა, ხე, სინამდვილეში ცვალებადი მასშტაბის ძალიან რთული გეომეტრიის გამოხატულებაა. ამ კონტექსტში, ფრაქციული განზომილების ცნება ცვლის ჩვეულებრივ ევკლიდურ განზომილებას (რომელიც ყოველთვის მთელი რიცხვია)!

ფრაკტალური ობიექტი ისეთია, რომ მისი ნებისმიერი ნაწილი მთელის იდენტურია (ამას ჰქვია თვით მსგავსება): მისი სტრუქტურა უცვლელია მასშტაბის ცვლილებით.

ტერმინი "ფრაქტალი" არის ნეოლოგიზმი, რომელიც ბენუა მანდელბროტმა შექმნა 1974 წელს ლათინური ფესვიდან fractus, რაც ნიშნავს "გატეხილს", "არარეგულარულს". ეს არის როგორც არსებითი სახელი, ასევე ზედსართავი სახელი. ბევრ ბუნებრივ მოვლენას - როგორიცაა სანაპირო ზოლის მონახაზი ან რომანესკოს კომბოსტოს გამოჩენა (იხ. სურათი) - აქვს სავარაუდო ფრაქტალური ფორმები.

ბენოიტ მანდელბროტს ჰქონდა გარკვეულწილად არატიპიური კარიერა: ლილის უნივერსიტეტში (საფრანგეთი) სწავლების შემდეგ, მან დაიკავა პოზიცია IBM– ში, სადაც ის სწრაფად გახდა IBM სტიპენდიანტი, რამაც მას დიდი თავისუფლება მისცა სამეცნიერო სწავლებისათვის. 1980 -იანი წლების დასაწყისში, IBM– ის დატოვების შემდეგ, იგი გახდა ჰარვარდის პროფესორი, მაგრამ მუდმივად დასახლდა იელში.

1960 -იან და 1970 -იანი წლების დასაწყისში მისმა მუშაობამ აიძულა გამოექვეყნებინა ცნობილი სტატია სახელწოდებით "Fractal Objects", სადაც მან აჩვენა, რომ ეს ობიექტები, მათემატიკური საზოგადოების დიდი ნაწილის მიერ უბრალო ცნობისმოყვარეობად მიჩნეული, ყველგან გვხვდება ბუნებაში. მან მრავალი მაგალითი მოიყვანა სხვადასხვა სფეროში, როგორიცაა ფიზიკა, ჰიდროლოგია, ფინანსები, მეტეოროლოგია, გეოგრაფია, გეოლოგია, მეტალურგია….

რა არის მანდელბროტის ნაკრები?

დასაწყისისთვის, ვთქვათ, რომ ეს არის ლამაზი ნახაზი, რომელიც გენერირდება პროგრამის მიერ. და ეს პროგრამა საკმაოდ მარტივია. არსებობს ბევრი კომპიუტერული ნახაზები და ბევრი კომპიუტერული პროგრამული უზრუნველყოფა მათ შესაქმნელად. მაშ რა არის ამაში განსაკუთრებული? პირველი, მანდელბროტის ნაკრები არის გეგმის ქვესიმრავლე, ქულების კრებული. იგი შეიცავს სფეროებს, არამედ გლუვ მოსახვევებს, ძაფებს, წერტილებს, საიდანაც მრავალი ტოტი გამოდის და სხვა ნივთებს. მეორე: ეს მართლაც მომხიბლავია და აქვს ძალიან საინტერესო ისტორია.

მე -20 საუკუნის დასაწყისში ფრანგმა მათემატიკოსებმა პიერ ფატუმ და გასტონ ჯულიამ შეიმუშავეს მათემატიკის ქვე დომენი, რომელსაც ჰოლომორფული დინამიკა ეწოდება. ისინი დაინტერესებულნი იყვნენ კონკრეტული ფუნქციებით, მოქმედებდნენ რიცხვებზე და იყენებდნენ უმარტივეს ფორმულებს. მოცემული რიცხვები არის რთული რიცხვები, სიდიდეები წარმოდგენილია ორი კოორდინატით (ისევე როგორც სიბრტყის წერტილები), რომელსაც ეწოდება რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. ისინი გამოიგონეს მე -16 საუკუნეში მათემატიკოსებმა, რათა დაეხმარონ მრავალწევრების ფესვებისა და განტოლებების ამოხსნას, მაგრამ მათ ფართო და ღრმა გამოყენება ჰპოვეს მათემატიკასა და ფიზიკურ მეცნიერებებში. ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ 2 რთული რიცხვი, გავამრავლოთ ან გავყოთ ისინი და გავაკეთოთ ბევრი სხვა რამ. ფატუ და ჯულია სწავლობდნენ გარკვეული დინამიური სისტემების თვისებებს, სადაც კომპლექსური რიცხვი იცვლება მარტივი წესის მიხედვით, რომელიც მეორდება ხელახლა: აქ არ არის საჭირო რთული მათემატიკა (ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ დაივიწყოთ პირველი სურათი …). მათ გამოავლინეს ამ სისტემების სიმდიდრე, განსაზღვრეს ნაკრები, რომელსაც ახლა ჯულიას ნაკრები ჰქვია და შეისწავლეს მათი მსგავსება, შესაბამისად ფრაქტალური ასპექტი … მაგრამ ეს სიტყვა მაშინ არ არსებობდა, რადგან ის მხოლოდ მოგვიანებით გამოიგონა… ბენოიტ მანდელბროტმა!

დამფუძნებლების მუშაობის შემდეგ, ეს დომენი დავიწყებას მიეცა. როდესაც კომპიუტერები ჩავიდნენ, მათ ხელი შეუწყეს მრავალი მათემატიკური ფენომენის შესწავლას, რომელიც მოითხოვს ინტენსიურ გამოთვლებს, მათ შორის ჯულიას და ფატუს მიერ გახსნილ დომენს. ამგვარად, როდესაც ბენოიტ მანდელბროტმა გადაწყვიტა 1980 -იან წლებში IBM კომპიუტერების გამოყენება ჰოლომორფულ დინამიკასთან დაკავშირებული გარკვეული მათემატიკური ნაკრების წარმოსაჩენად., მან მიიღო ძალიან მიმზიდველი და ძალიან დამაინტრიგებელი ნახატი (წინა ნაწილის პირველი სურათი).

რას წარმოადგენს მანდელბროტის ნაკრები? ძირითადად, არსებობს ფუძემდებლური დინამიური სისტემა, რომელიც დაკავშირებულია გამოსახულების თითოეულ წერტილთან. წერტილის კოორდინატები მოქმედებენ როგორც რეგულირებადი პარამეტრი. სხვადასხვა წერტილები შეესაბამება ჯულიას სხვადასხვა კომპლექტს და მათი ქცევიდან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია გადავწყვიტოთ წერტილის შეღებვა კონკრეტული გზით. მანდელბროტის ნაკრები არის პარამეტრების ერთობლიობა, რომლისთვისაც სისტემას აქვს გარკვეული თვისება.

როგორ გამოვთვალოთ მანდელბროტისა და ჯულიას ნაკრები?

ჩვენ გვჭირდება ცოტა უფრო დეტალურად, თუ როგორ გამოვთვალოთ ეს ნაკრები. მანდელბროტისა და იულიას ნაკრები გამოითვლება მარტივი ფორმულის განმეორებითი გამეორებით, ჩვენს შემთხვევაში z^n+c. z არის რთული რიცხვი, რომელიც წარმოადგენს ეკრანის წერტილის კოორდინატებს. არის მთელი რიცხვითი მაჩვენებელი, ასე რომ z^n უდრის z- ს გამრავლებული თავისთავად n ჯერ, ხოლო c არის მუდმივი.

მანდელბროტის ნაკრებისთვის, ჩვენების არეალის ყველა წერტილისთვის, ჩვენ ვიყენებთ z– ს 0. მუდმივი c მიიღება განხილული წერტილის კოორდინატების მნიშვნელობის ტოლფასი და ფორმულა განმეორდება.

აქ არის წესი: წერტილი არის ნაკრების ნაწილი, თუ ამ ფორმულის განმეორებითი გამოყენება არ განსხვავდება (ანუ არ იწვევს გამოთვლებს დიდი რიცხვების მიმართ). მათემატიკურად შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ თუ ფორმულის შედეგი აღემატება 2 -ს (მოდულში, ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ რთულ რიცხვებზე) გამეორება განსხვავდება. ასე რომ, ლამაზი ფერების სწრაფად მისაღებად, ჩვენ ვაჩერებთ გამეორებას, როდესაც შედეგის მოდული აღემატება 2 -ს და ფერი შეესაბამება ამ კონკრეტული გამეორების რაოდენობას. თუ გამეორებების რაოდენობა ძალიან დიდი გახდება (ასე რომ, თუ წერტილი არის მანდელბროტის ნაკრების ნაწილი) ჩვენ ვჩერდებით მოცემული ბარიერის შემდეგ და ამ წერტილს ვუკავშირებთ შავ ფერს.

ჯულიას ნაკრები გამოითვლება ანალოგიურად, მაგრამ გამოთვლები ინიციალიზებული არ არის 0 -ზე, მაგრამ განხილული წერტილის კოორდინატების მნიშვნელობით და მუდმივი c ირჩევს მომხმარებელს და იგივე რჩება მთელი სურათისთვის.

ესე იგი, ვიმედოვნებ, რომ ნათელია … ეს ახსნა -განმარტებები ხელს უწყობს დანარჩენი გამოყენების ინსტრუქციის უკეთ გაგებას.

ნაბიჯი 2: რა გჭირდებათ?

მასალის ანგარიში:

• 1 ESP32 დაფა
• 1 TFT დისპლეი სენსორული ეკრანით და სტილუსით
• 1 პურის დაფა და მავთული

Ის არის. საერთო ღირებულება 10 დოლარამდე.

Espressif– ის ESP32 არის ორმაგი ბირთვიანი მიკროკონტროლერი, რომელიც მუშაობს 240 MHz– ზე, რაც მას კარგ კანდიდატად აქცევს სწრაფი და რთული განმეორებითი გამოთვლებისთვის. მას აქვს WiFi და Bluetooth შესაძლებლობები, რომელსაც მე არ ვიყენებ ამ პროექტში.

ინსტრუქციის ნაკრები არის 32 ბიტიანი ზომა. 16 და 32 ბიტიანი ცვლადებით გამოთვლა ძალიან სწრაფია, რაც იძლევა ზუსტ გამოთვლებს, რაც ფუნდამენტურია მასშტაბირების მიზნით. ამ აპლიკაციაში, 320 x 240 ეკრანისთვის, გამოსახულება უხეშად არის დამზადებული 75, 000 პიქსელისგან, რომელთაგან თითოეული გამოითვლება გამეორებითი პროცესის გამოყენებით, რომელიც შეიძლება 100 -ჯერ გაიზარდოს. ამან შეიძლება გამოიწვიოს 7, 500, 000 ერთეული გამოთვლა, რომელთაგან თითოეული არის გამძაფრება, ანუ რამდენიმე გამრავლება…

ასე რომ, გამოთვლის სიჩქარე აქ მნიშვნელოვანია, მაგრამ სიზუსტე ფუნდამენტურია. რაც უფრო მეტად გაადიდებთ მასშტაბირებას, მით უფრო მცირე ზომის გამოჩნდება ნაკრების ნაწილი. ეს ნიშნავს, რომ სურათის 320 x 240 პიქსელიდან თითოეული წარმოადგენს რიცხვს, რომელიც ძალიან ახლოსაა მის მეზობლებთან. მასშტაბირების ზრდასთან ერთად, ეს სიახლოვე იზრდება.

მაგრამ ფრაქტალურ გამოსახულებებს აქვთ ეს თვისება, რომ ისინი უცვლელი რჩება სკალირებისას. ასე რომ, მცირე დეტალები ჩნდება ყველგან და ნებისმიერი სკალირების ფაქტორისთვის. მანდელბროტის ნაკრების ძირითადი ფორმა, როგორც ჩანს ზემოთ მოცემულ სურათზე, შეიძლება სადმე სხვაგან იპოვოთ ბევრად უფრო მცირე ვერსიით და გამოჩნდეს თუ საკმარისად გაადიდებთ (იხილეთ ვიდეოზე). მაგრამ თუ ორ მეზობელ პიქსელს შორის კოორდინატული განსხვავება ძალიან მცირეა იმისთვის, რომ ESP32- მა შეძლოს მათი ქცევის სხვაობის დაფიქსირება, სიზუსტის გამო, ფრაქტალური ეფექტი ვერ გამოჩნდება …

კარგი სიზუსტის მისაღებად, კოდი იყენებს floats, რომლებიც კოდირებულია 32 ბიტიანი ESP32– ით. ეს შესაძლებელს ხდის 6 ან 7 მასშტაბირების დონეს. ორმაგი სიზუსტის (64 ბიტი) გამოყენება გაზრდის ამ მასშტაბირების სიღრმეს, ნელი გამოთვლების ფასად, შესაბამისად უფრო დიდ დროს ორ სურათს შორის.

ორმაგი სიზუსტისთვის, უბრალოდ შეცვალეთ "float" - ის ყველა მოვლენა კოდში "გაორმაგება" და გაუშვით კოდი. მე ცოტა ხნის წინ გავაკეთე ვერსია უფრო დიდი ეკრანისთვის (HVGA 480 x 320 პიქსელი): 16 ბიტიანი მოძრავი გამოსახულების ჩვენებას 3 წამი სჭირდება, ხოლო ორმაგს 10 -დან 20 წამამდე (3 -დან 6 -ჯერ მეტხანს), მაგრამ მხარს უჭერს მასშტაბირების 15 -ზე მეტს რა ამ თავის მესამე სურათი გვიჩვენებს მასშტაბირების 14 ხარისხს მანდელბროტის ნაკრების მარჯვნივ-უმეტეს ნაწილში.

როგორ დააკავშიროთ ეკრანი:

მე გამოვიყენე SPI ჩვენება და პარამეტრები დაყენებულია User_Setup.h ფაილში (TFT_eSPI ბიბლიოთეკის საქაღალდეში):

• მძღოლი: თქვენი დისპლეის სწორი დრაივერის კომენტარის დატოვება. ჩემი იყო #განსაზღვრული RPI_ILI9486_DRIVER

• ჩამაგრეთ ნომრები: გადადით ფაილის ESP32 განყოფილებაში და აირჩიეთ

  • #განსაზღვრეთ TFT_MISO 19
  • #განსაზღვრეთ TFT_MOSI 23
  • #განსაზღვრეთ TFT_SCLK 18
  • #განსაზღვრეთ TFT_CS 15 // ჩიპის არჩევის საკონტროლო პინი
  • #განსაზღვრეთ TFT_DC 2 // მონაცემთა ბრძანების საკონტროლო პინი
  • #განსაზღვრეთ TFT_RST 4 // გადატვირთეთ პინი (შეიძლება დაუკავშირდეს RST პინს)
  • #განსაზღვრეთ TOUCH_CS 22 // სენსორული ეკრანის ჩიპის არჩევის პინი (T_CS)
• შრიფტები: არ არის საჭირო მათი შეცვლა

• სხვა პარამეტრები: მე ავირჩიე შემდეგი

  • #განსაზღვრეთ SPI_FREQUENCY 20000000
  • #განსაზღვრეთ SPI_READ_FREQUENCY 20000000
  • #განსაზღვრეთ SPI_TOUCH_FREQUENCY 2500000

ფაილის ყველა სხვა სტრიქონი კომენტარებულია.

ეკრანის შეხების შესაძლებლობების დაკალიბრება

თუ ეკრანის ნაწილის ან ღილაკის შერჩევა არ არის ზუსტი, ან თუნდაც სრულიად არასწორი, გაუშვით TFT_eSPI ბიბლიოთეკიდან შეხების დაკალიბრების ესკიზი და დააკოპირეთ / ჩასვით მასივის კოდი (დარწმუნდით, რომ გამოიყენეთ სწორი მნიშვნელობა ჩვენების ორიენტაციისთვის, 1 ან 3 ლანდშაფტისთვის).

ნაბიჯი 3: ESP32 პროგრამა

კოდი ნაჩვენებია 320 x 240 TFT სენსორულ ეკრანზე და იყენებს TFT_eSPI ბიბლიოთეკას. იგი ითვლის მანდელბროტისა და იულია რამდენიმე ექსპონენტ მნიშვნელობას და გაძლევთ საშუალებას გაადიდოთ ინტერესის სფეროები, რათა ნახოთ ფრაქტალური ასპექტი (ანუ ერთი და იგივე სტრუქტურების არსებობა თითოეულ მასშტაბის ცვლილებაზე).

თანდართული კოდი არის ვერსია 480 x 320 დისპლეისთვის. ამ ვერსიაში თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ეკრანის ზომა (სიგანე და სიმაღლე პიქსელებში). TFT_eSPI ბიბლიოთეკა განსაზღვრავს კავშირებს კონფიგურაციის ფაილში (მიმაგრებულია), რომელიც უნდა იყოს ბიბლიოთეკის დირექტორიაში.

კოდი იწყება ოპერაციული ინსტრუქციის ჩვენებით (იხილეთ სურათი და ვიდეო)

ეკრანის უმეტესობა დაცულია სურათების ჩვენებისთვის, სენსორული ღილაკები ხელმისაწვდომია ეკრანის მარჯვენა მხარეს:

• რ: ასრულებს "გადატვირთვას", ე.ი. ე აჩვენებს სურათს მის მაქსიმალურ მასშტაბამდე,
• U: "გაუქმება" საშუალებას გაძლევთ დაბრუნდეთ წინა საფეხურზე (თუ მასშტაბირებული რეგიონი არ არის საინტერესო, შეგიძლიათ გაადიდოთ გამოსახულების სხვა ნაწილი გასადიდებლად),
• M ან J: საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ მანდელბროტის ნაკრებიდან ჯულიას ნაკრებში და პირიქით.

ზოგიერთი გასაღების ეტიკეტი იცვლება კონტექსტის მიხედვით: ისინი აჩვენებენ ფუნქციას, რომელიც დაპრესილი იქნება. ასე რომ, თუ თქვენ ამჟამად აჩვენებთ მანდელბროტის კომპლექტს, M/J ღილაკი აჩვენებს J- ს, რადგან თუ დააჭერთ მასზე გამოჩნდება ჯულიას ნაკრები (და პირიქით).

იგივე ეხება ფერის პალიტრის არჩევანს. ჩვენ ვიწყებთ მწვანე პალიტრას. გასაღები გვთავაზობს შემდეგ პალიტრას (ლურჯი). პალიტრებია: წითელი, მწვანე, ლურჯი, ნაცრისფერი, პალიტრა 1, პალიტრა 2 და ისევ წითელი. ბოლო ორი არის მრავალფერიანი პალეტის ტესტები, რომლებიც უფრო მეტ კონტრასტს იძლევა, რაც საშუალებას გაძლევთ უკეთ ნახოთ ზოგიერთი დეტალი.

ნომრით გასაღები საშუალებას გაძლევთ აირჩიოთ ექსპონენტი n, მარყუჟში 2 -დან 7 -მდე (და უკან 2 -მდე). იგივე სულისკვეთებით, ის აჩვენებს 3 -ს, თუ ამჟამად 2 -ზე ხართ…

დაბოლოს, ჯულიას ნაკრების ჩვენებისას აუცილებელია აირჩიოთ მუდმივი c მნიშვნელობა: C კლავიში გაძლევთ ამის საშუალებას სელექტორის წყალობით (იხ. მეორე სურათი). ამ მუდმივის მნიშვნელობა ნაჩვენებია ნაკრებთან ერთად.

დაწკაპუნებით გამოსახულება მასშტაბირდება არჩეული წერტილის გარშემო. მცირე წრე ნაჩვენებია შეხებულ წერტილში და ოთხკუთხედი ხაზს უსვამს ნაკრების მასშტაბირებულ ზონას.

მე –3 სურათი გვიჩვენებს, რომ გამოთვლის დრო რჩება 0,8 – დან 1,2 წამამდე 320 x 240 პიქსელზე, რაც კომფორტულს ხდის მასშტაბირებას და ჩვენებას. ის აღწევს 3 წამს 480 x 320 პიქსელზე, მაგრამ იძლევა უფრო მეტ დეტალებს.

ნაბიჯი 4: ახსნილია რამდენიმე სურათი…

ყველაზე დიდი სურათი არის კარგად ცნობილი მანდელბროტის ნაკრები. ამ სურათში გამოყენებული კომპლექსური რიცხვები მერყეობს -2,1 -დან +0,7 -მდე აბსცისში და -1,2 -დან 1,2 -მდე ორდინატებში. თუ გაადიდებთ ამ პირველი სურათის ძალიან მარცხენა ნაწილს, დიდი შანსია რომ საბოლოოდ მიიღოთ მეორე, რომელიც აჩვენებს ორიგინალური ნაკრების უფრო მცირე ვერსიას, რომელიც ნაპოვნია ნაკრების ყველაზე მარცხენა ნაწილში. ორივე ამ სურათისთვის ექსპონენტი ('n') უდრის 2 -ს: ეს არის ის მნიშვნელობა, რომელიც ჩვეულებრივ გამოიყენება მანდელბროტის ნაკრებების გამოსახატავად.

თუ თქვენ შეცვლით ამ მნიშვნელობას 3 -ზე (უბრალოდ დააჭირეთ ღილაკს 3), თქვენ მიიღებთ მესამე სურათს. ერთი აშკარა განსხვავება არის სიმეტრიის ფაქტორი: n = 2 იძლევა ღერძულ სიმეტრიას (ანუ ნაკრები სიმეტრიულია მედიანური ჰორიზონტალური ღერძის მიმართ), მაგრამ n = 3 – ით გამოსახულება უცვლელი ხდება 120 ° ბრუნვით (360 ° –ის ერთი მესამედი, ბრუნვა სიმეტრიის კოეფიციენტი 3). ის ინარჩუნებს თავის ფრაქტალურ თვისებებს, რომელთა გადამოწმება შეგიძლიათ შავი ფორმის კიდეებზე მასშტაბირებით.

მე -4 სურათი არის ჯულიას ნაკრები, რომელიც მიღებულია კოეფიციენტის მნიშვნელობის შერჩევის შემდეგ 0.414 ტოლი აბსცისა და 0.09 ორდინატში. წითელი პალიტრა არჩეულია, როგორც ეს ჩანს მწვანე ღილაკით მარჯვნივ (მწვანე, არის შემდეგი ფერი, რომელიც უნდა შეირჩეს). მეხუთე სურათი აჩვენებს იგივე სახის ჯულიას ნაკრები, რომელიც მუდმივის უფრო მაღალი წარმოსახვითი ნაწილია (0.358).

ვიმედოვნებ, რომ თქვენ სიამოვნებით ითამაშებთ ამ პროგრამით და შეძლებთ ლამაზი ფრაკტალური სურათების ჩვენებას. ნუ მოგერიდებათ შეისწავლოთ მანდელბროტისა და ჯულიას ნაკრები და ითამაშეთ პალიტრებით: ისინი გეხმარებიან ზოგიერთი დეტალის იდენტიფიცირებაში, რომელიც შეიძლება არ იყოს ხილული უბრალო მონოქრომული პიესებით. თქვენ შეიძლება აღმოაჩინოთ ისეთი ფრაქტალური პეიზაჟებიც, რომლებიც არავის უნახავს თქვენს წინაშე …

_

გსურთ აღმოაჩინოთ მეტი ფრაკტალური სურათი? უბრალოდ დააწკაპუნეთ აქ ან შეისწავლეთ ფრაქტალური ხელოვნება ან თუნდაც ascii fractal. იქნებ ეს სასწავლო გაგიჩნდებათ სურვილი შექმნათ ასეთი შესანიშნავი სურათები…

მეორე პრიზი მათემატიკის კონკურსში